REUNIÕES COM AS TRÊS TRIBOS

REUNIÕES COM AS TRÊS TRIBOS

Domingo, 11 de Abril de 2004

Naquela famosa ilha existem três tribos: os Verks que dizem sempre frases verdadeiras, os Falks que mentem sempre, e os Alterns que, ao longo da vida, dizem alternadamente uma frase verdadeira e outra falsa. Numas importantes reuniões ministeriais, estavam três pessoas em cada mesa, cada uma representando uma tribo.

Fui à primeira mesa e perguntei-lhes de que tribo eram. Eis o que ouvi.

Alan: "Sou Verk."

Judite: "O Alan é Verk."

Paulo: "Eu e o Alan somos Verks."

Fiquei elucidado e passei à segunda mesa.

Ana: "A Graça é Verk e o João é Altern."

Graça: "O João é Verk e a Ana é Falk."

João: "A Ana é Altern e a Graça é Falk."

Fui então à terceira mesa.

Marco: "O Eduardo é Altern e a Rita é Falk."

Eduardo: "A Rita é Altern e o Marco é Falk."

Rita: "O Marco é Verk."

De que tribos são estas nove pessoas?

CUBINHOS E TINTAS DE TRÊS CORES

O Desafio proposto na semana passada foi o seguinte:

"Com uma certa quantidade de cubinhos, todos iguais, fizemos um cubo grande sem espaços vazios no interior. Depois pintámos de azul toda a superfície exterior do cubo grande. A seguir, rearrumámos esses cubinhos de modo a formar novo cubo grande mas sem que qualquer face azul ficasse visível e pintámos de vermelho toda a superfície exterior. Por fim, voltámos a rearrumar os mesmos cubinhos de modo que nenhuma face já pintada ficasse à vista e pintámos de amarelo toda a superfície exterior do novo cubo grande. Verificámos então que todas as faces dos cubinhos estavam pintadas. Quantos cubinhos ficaram com apenas duas cores?"

Comecemos por encontrar o número de cubinhos que formam o cubo grande. Seja N o número de cubinhos que pomos em cada aresta do cubo grande. O número total de cubinhos é então: NxNxN.

Como cada cubinho tem seis faces, o total de faces dos cubinhos é: 6xNxNxN

Cada face do cubo grande é formada por NxN faces de cubinhos.

Quando usamos uma das cores para pintar o cubo grande, o número de faces de cubinhos pintadas dessa cor é: 6xNxN

Depois de utilizarmos as três cores, o total de faces pintadas é:

3x6xNxN ou 18xNxN

Como, no final, todas as faces dos cubinhos ficaram pintadas, terá de se verificar a igualdade:

6xNxNxN = 3x6xNxN

Então, terá de ser: N = 3.

Ou seja, o cubo grande vai ser formado por 3 cubinhos em cada aresta e portanto o total de cubinhos é: 3x3x3 = 27.

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Vamos agora classificar o tipo de posição que um cubinho pode ocupar no cubo grande e com quantas faces pintadas fica. Por exemplo, quando pintamos de azul:

Posição V - no vértice: há 8 cubinhos que ficam com 3 faces azuis.

Posição A - a meio da aresta: há 12 cubinhos que ficam com duas faces azuis.

Posição F - no centro da face: há 6 cubinhos que ficam apenas com uma face azul.

Posição I - no interior: há 1 cubinho que não é pintado de azul.

Daqui se conclui imediatamente que o cubinho na posição I terá, para ficar completamente pintado, de ocupar nas fases seguintes posições do tipo V. No final terá 3 faces vermelhas e 3 amarelas. O mesmo raciocínio se aplica às fases seguintes: só o cubinho que ocupa a posição I fica sem uma das cores. Então, no final, haverá 3 cubinhos só com duas cores: um vermelho-amarelo, outro azul-amarelo e um terceiro azul-vermelho.

Falta verificar se os restantes 24 cubinhos podem ser completamente pintados. Depois da primeira fase (azul), dos 8 cubinhos nos vértices, 2 são os que ficam com duas cores. Os 6 cubinhos restantes não podem voltar a ficar na posição V, terão de ficar uma vez em A e outra em F.

Quando este problema foi proposto aos leitores da revista Educação e Matemática, António Lucas (Castelo Mendo) e Graça Braga da Cruz (Ovar) concluíram que, no final, teremos 3 cubinhos só com duas cores (3 faces de uma cor e 3 faces de outra), 18 cubinhos com 3 faces de uma cor, duas de outra e uma da terceira cor e 6 cubinhos com duas faces de cada cor.