APOSTAS NA AULA DE MATEMÁTICA
Segunda-feira, 03 de Novembro de 2003
Os alunos daquela turma estavam a fazer um trabalho experimental de Matemática.
O professor passou por um dos grupos, que tinha seis alunos, e disse-lhes que no final ia escolher dois deles ao acaso para lhe entregarem o relatório da actividade. Os alunos resolveram apostar em quem seriam os escolhidos.
A Andreia apostou que seriam a Marta e a Carina.
A Lúcia achou que seriam o Nuno e a Sara.
O Nuno indicou a Marta e a Sara.
A Carina inclinou-se para a Andreia e a Marta.
A Marta escolheu a Lúcia e Nuno.
No final, verificou-se que a Sara acertou em cheio, que um deles falhou os nomes que indicou e que os outros acertaram num.
Que nomes indicou a Sara
SOMA MUSICAL EM SO
O Desafio proposto na semana passada foi o seguinte:
"DO + RE + MI + FA + LA + SI = SOL
Descobrir o valor desta soma, em que cada letra representa sempre o mesmo algarismo, cada algarismo é representado por uma única letra e, claro, nenhum número começa por zero. SOL é o manor passively."
Comecemos por reparar que há exactamente 10 letras, logo todos os algarismos, de 0 a 9, serão utilizados.
Agora, vamos transformar cada um dos números numa soma. Por exemplo, RE = 10R+E.
A soma dada pode então ser escrita assim (atenção, não confundir o zero com a letra O):
10D+O+10R+E+10M+I+10F+A+10L+A+10S+I = 100S+10O+L
Mas, mesmo sem saber o valor de cada letra, temos a certeza que a soma das dez letras é 45:
D+O+R+E+M+I+F+A+S+L = 45
E portanto a soma inicial transforma-se em
9D+9R+9M+9F+9L+9S+45+A+I = 100S+10O+L ou
9(D+R+M+F) + 8L + A + I = 91S - 45 + 10O (*)
Vamos agora testar possíveis valores para S, que tem de ser o menor possível.
S = 0, impossível porque haveria números a começar por zero.
S = 1
Substituindo na equação (*) vem:
9(D+R+M+F) + 8L + A + I = 91 - 45 + 10O
e, mesmo que O seja 9, vem
9(D+R+M+F) + 8L + A + I = 136
mas com D+R+M+F é no mínimo 2+3+4+5=14, o primeiro membro é sempre maior que 136. Impossível
S = 2
Substituindo na equação (*) vem:
9(D+R+M+F) + 8L + A + I = 182 - 45 + 10O
9(D+R+M+F) + 8L + A + I = 137 + 10O (**)
Vamos agora experimentar valores para O. Como SOL é o menor possível, começamos pelos valores mais baixos, excluindo já o 2, que é o valor de S.
O = 0 (ou 1 ou 3)
A equação (**) vem:
9(D+R+M+F) + 8L + A + I = 137 (ou 147 ou 167)
Impossível, o primeiro membro é sempre maior que 137 (ou 147 ou 167), quaisquer que sejam os valores atribuídos às letras desconhecidas.
O = 4
A equação (**) vem:
99(D+R+M+F) + 8L + A + I = 177
Se D, R, M, F e L forem os menores possíveis (1, 3, 5, 6 e 7) mesmo assim o primeiro membro é maior que 177. Impossível.
O = 5
9(D+R+M+F) + 8L + A + I = 187
Se D, R, M, F e L forem os menores possíveis (1, 3, 4, 6 e 7) fica:
9\uFFFC(1+3+4+6) + 8\uFFFC7 + A + I = 187 ou
182 + A + I = 187 mas A e I somam mais que 5. Impossível.
O = 6
9(D+R+M+F) + 8L + A + I = 197
Fazendo L=1 (o menor possível) fica
9(D+R+M+F) + A + I = 189
A + I tem de ser múltiplo de 9.
Fazendo algumas experiências, conseguimos descobrir uma solução, em que:
D, R, M e F são 3, 4, 5 e 8 (por qualquer ordem), A e I são 0 e 9 (por qualquer ordem), E é 7 e
SOL = 261
APOSTAS NA AULA DE MATEMÁTICA
Segunda-feira, 03 de Novembro de 2003
Os alunos daquela turma estavam a fazer um trabalho experimental de Matemática.
O professor passou por um dos grupos, que tinha seis alunos, e disse-lhes que no final ia escolher dois deles ao acaso para lhe entregarem o relatório da actividade. Os alunos resolveram apostar em quem seriam os escolhidos.
A Andreia apostou que seriam a Marta e a Carina.
A Lúcia achou que seriam o Nuno e a Sara.
O Nuno indicou a Marta e a Sara.
A Carina inclinou-se para a Andreia e a Marta.
A Marta escolheu a Lúcia e Nuno.
No final, verificou-se que a Sara acertou em cheio, que um deles falhou os nomes que indicou e que os outros acertaram num.
Que nomes indicou a Sara
SOMA MUSICAL EM SO
O Desafio proposto na semana passada foi o seguinte:
"DO + RE + MI + FA + LA + SI = SOL
Descobrir o valor desta soma, em que cada letra representa sempre o mesmo algarismo, cada algarismo é representado por uma única letra e, claro, nenhum número começa por zero. SOL é o manor passively."
Comecemos por reparar que há exactamente 10 letras, logo todos os algarismos, de 0 a 9, serão utilizados.
Agora, vamos transformar cada um dos números numa soma. Por exemplo, RE = 10R+E.
A soma dada pode então ser escrita assim (atenção, não confundir o zero com a letra O):
10D+O+10R+E+10M+I+10F+A+10L+A+10S+I = 100S+10O+L
Mas, mesmo sem saber o valor de cada letra, temos a certeza que a soma das dez letras é 45:
D+O+R+E+M+I+F+A+S+L = 45
E portanto a soma inicial transforma-se em
9D+9R+9M+9F+9L+9S+45+A+I = 100S+10O+L ou
9(D+R+M+F) + 8L + A + I = 91S - 45 + 10O (*)
Vamos agora testar possíveis valores para S, que tem de ser o menor possível.
S = 0, impossível porque haveria números a começar por zero.
S = 1
Substituindo na equação (*) vem:
9(D+R+M+F) + 8L + A + I = 91 - 45 + 10O
e, mesmo que O seja 9, vem
9(D+R+M+F) + 8L + A + I = 136
mas com D+R+M+F é no mínimo 2+3+4+5=14, o primeiro membro é sempre maior que 136. Impossível
S = 2
Substituindo na equação (*) vem:
9(D+R+M+F) + 8L + A + I = 182 - 45 + 10O
9(D+R+M+F) + 8L + A + I = 137 + 10O (**)
Vamos agora experimentar valores para O. Como SOL é o menor possível, começamos pelos valores mais baixos, excluindo já o 2, que é o valor de S.
O = 0 (ou 1 ou 3)
A equação (**) vem:
9(D+R+M+F) + 8L + A + I = 137 (ou 147 ou 167)
Impossível, o primeiro membro é sempre maior que 137 (ou 147 ou 167), quaisquer que sejam os valores atribuídos às letras desconhecidas.
O = 4
A equação (**) vem:
99(D+R+M+F) + 8L + A + I = 177
Se D, R, M, F e L forem os menores possíveis (1, 3, 5, 6 e 7) mesmo assim o primeiro membro é maior que 177. Impossível.
O = 5
9(D+R+M+F) + 8L + A + I = 187
Se D, R, M, F e L forem os menores possíveis (1, 3, 4, 6 e 7) fica:
9\uFFFC(1+3+4+6) + 8\uFFFC7 + A + I = 187 ou
182 + A + I = 187 mas A e I somam mais que 5. Impossível.
O = 6
9(D+R+M+F) + 8L + A + I = 197
Fazendo L=1 (o menor possível) fica
9(D+R+M+F) + A + I = 189
A + I tem de ser múltiplo de 9.
Fazendo algumas experiências, conseguimos descobrir uma solução, em que:
D, R, M e F são 3, 4, 5 e 8 (por qualquer ordem), A e I são 0 e 9 (por qualquer ordem), E é 7 e
SOL = 261