Desafios
Segunda-feira, 16 de Junho de 2003 %José Paulo Viana A CAIXA DE CHOCOLATES Havia 10 óptimos chocolates belgas naquela caixa mas a Cândida e a Gui comeram-nos todos. Depois ouvi-as a conversar. Cândida: "Comi menos de 7 chocolates." Gui: "Eu também." Cândida: "Mas eu comi mais de 4." Gui: "Tenho a certeza de ter comido menos do que tu." Ora, cada uma delas enganou-se uma vez. Afinal, quantos chocolates comeu a Gui? (Adaptado do Campeonato FFJM) APAIXONADOS NO TABULEIRO DE XADREZ O Desafio proposto na semana passada foi este: "Naquela escola há um tabuleiro gigante de xadrez. A final de um torneio interturmas vai ser jogada aí e vão ser os alunos dessas turmas que vão fazer de peças. Como se sabe, no jogo de xadrez as 16 peças de cada jogador começam por ser colocadas ocupando duas filas completas. Os alunos de cada equipa vão ser colocados ao acaso nas 16 posições possíveis. A Paula e o Paulo fazem parte de uma das equipas e estão apaixonados. O desejo deles era que ficassem em casas contíguas do tabuleiro, isto é, casas que tivessem um lado comum. Ou então, em casas que pelo menos se tocassem num ponto. Qual é a probabilidade de acontecer a hipótese mais agradável para eles? E a probabilidade da segunda hipótese?" O cálculo das probabilidades apareceu muito tarde na história da Matemática. As primeiras tentativas de sistematização de situações para obter a probabilidade de acontecimentos foi feita em meados do século XVII, pelos matemáticos franceses Blaise Pascal e Pierre de Fermat, para chegarem à solução de um problema relacionado com o jogo. Em finais do século XVIII, o francês Pierre Simon de Laplace propôs uma definição de probabilidade: se os casos possíveis para o resultado de uma experiência forem todos igualmente prováveis, então a probabilidade de um certo acontecimento é igual à razão entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis. Para resolver o nosso problema, vamos começar por determinar o número de casos possíveis, isto é, de quantas maneiras diferentes a Paula e o Paulo podem ocupar duas das 16 casas iniciais da sua equipa. Na teoria do Cálculo Combinatório, chama-se a isto determinar as "combinações de 16 objectos 2 a 2" e há fórmulas para isso. Mas, mesmo não sabendo a fórmula, chegamos lá. A Paula tem 16 casas possíveis. Para cada uma delas, o Paulo tem 15 hipóteses. Portanto: 16 x 15 = 240. Mas, desta forma, estamos a contar duas vezes a mesma situação. Por exemplo, a Paula na casa 3 e o Paulo na 10 é, para o nosso problema, o mesmo que a Paula na 10 e o Paulo na 3. Temos então de dividir por 2. Então, o número de casos possíveis é 120. Passemos aos casos favoráveis da primeira hipótese: ficarem em casas com um lado comum. Há duas formas de isso acontecer: Na mesma coluna: 8 possibilidades. Na mesma fila: 7 possibilidades na fila de baixo mais 7 na de cima. Então, o número de casos favoráveis é: 8 + 7 + 7 = 22. A probabilidade de ficarem em casas contíguas é: 22/120 \u2248 0,183 ou 18,3% Passemos à segunda hipótese: ficarem em casas com um vértice comum. Têm de ficar em diagonal. Há 7 possibilidades num sentido e outras 7 no outro. O número de casos favoráveis é: 7 + 7 = 14. A probabilidade de isto se verificar é: 14/120 \u2248 0,117 ou 11,7% Então, a probabilidade de ficarem juntos, de uma maneira ou de outra, é a soma dos dois valores obtidos: 18,3% + 11,7% = 30% OUTROS TÍTULOS EM PÚBLICA
Ideias Fortes Capoulas Santos Comissão Europeia não conseguirá fazer a reforma que a agricultura portuguesa necessita
O sociólogo a que chamam engenheiro
Livro
Objectivo 2008?
A mulher arco-íris na crise dos quarenta
CRÓNICAS
Fronteiras Perdidas
Levante-se o réu
COCKTAIL
Cocktails de Verão
RECEITA
Receitas de Verão
CARTAS DA MAYA
Cartas da Maya
DESAFIOS
Desafios
Categorias
Entidades
Desafios
Segunda-feira, 16 de Junho de 2003 %José Paulo Viana A CAIXA DE CHOCOLATES Havia 10 óptimos chocolates belgas naquela caixa mas a Cândida e a Gui comeram-nos todos. Depois ouvi-as a conversar. Cândida: "Comi menos de 7 chocolates." Gui: "Eu também." Cândida: "Mas eu comi mais de 4." Gui: "Tenho a certeza de ter comido menos do que tu." Ora, cada uma delas enganou-se uma vez. Afinal, quantos chocolates comeu a Gui? (Adaptado do Campeonato FFJM) APAIXONADOS NO TABULEIRO DE XADREZ O Desafio proposto na semana passada foi este: "Naquela escola há um tabuleiro gigante de xadrez. A final de um torneio interturmas vai ser jogada aí e vão ser os alunos dessas turmas que vão fazer de peças. Como se sabe, no jogo de xadrez as 16 peças de cada jogador começam por ser colocadas ocupando duas filas completas. Os alunos de cada equipa vão ser colocados ao acaso nas 16 posições possíveis. A Paula e o Paulo fazem parte de uma das equipas e estão apaixonados. O desejo deles era que ficassem em casas contíguas do tabuleiro, isto é, casas que tivessem um lado comum. Ou então, em casas que pelo menos se tocassem num ponto. Qual é a probabilidade de acontecer a hipótese mais agradável para eles? E a probabilidade da segunda hipótese?" O cálculo das probabilidades apareceu muito tarde na história da Matemática. As primeiras tentativas de sistematização de situações para obter a probabilidade de acontecimentos foi feita em meados do século XVII, pelos matemáticos franceses Blaise Pascal e Pierre de Fermat, para chegarem à solução de um problema relacionado com o jogo. Em finais do século XVIII, o francês Pierre Simon de Laplace propôs uma definição de probabilidade: se os casos possíveis para o resultado de uma experiência forem todos igualmente prováveis, então a probabilidade de um certo acontecimento é igual à razão entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos possíveis. Para resolver o nosso problema, vamos começar por determinar o número de casos possíveis, isto é, de quantas maneiras diferentes a Paula e o Paulo podem ocupar duas das 16 casas iniciais da sua equipa. Na teoria do Cálculo Combinatório, chama-se a isto determinar as "combinações de 16 objectos 2 a 2" e há fórmulas para isso. Mas, mesmo não sabendo a fórmula, chegamos lá. A Paula tem 16 casas possíveis. Para cada uma delas, o Paulo tem 15 hipóteses. Portanto: 16 x 15 = 240. Mas, desta forma, estamos a contar duas vezes a mesma situação. Por exemplo, a Paula na casa 3 e o Paulo na 10 é, para o nosso problema, o mesmo que a Paula na 10 e o Paulo na 3. Temos então de dividir por 2. Então, o número de casos possíveis é 120. Passemos aos casos favoráveis da primeira hipótese: ficarem em casas com um lado comum. Há duas formas de isso acontecer: Na mesma coluna: 8 possibilidades. Na mesma fila: 7 possibilidades na fila de baixo mais 7 na de cima. Então, o número de casos favoráveis é: 8 + 7 + 7 = 22. A probabilidade de ficarem em casas contíguas é: 22/120 \u2248 0,183 ou 18,3% Passemos à segunda hipótese: ficarem em casas com um vértice comum. Têm de ficar em diagonal. Há 7 possibilidades num sentido e outras 7 no outro. O número de casos favoráveis é: 7 + 7 = 14. A probabilidade de isto se verificar é: 14/120 \u2248 0,117 ou 11,7% Então, a probabilidade de ficarem juntos, de uma maneira ou de outra, é a soma dos dois valores obtidos: 18,3% + 11,7% = 30% OUTROS TÍTULOS EM PÚBLICA
Ideias Fortes Capoulas Santos Comissão Europeia não conseguirá fazer a reforma que a agricultura portuguesa necessita
O sociólogo a que chamam engenheiro
Livro
Objectivo 2008?
A mulher arco-íris na crise dos quarenta
CRÓNICAS
Fronteiras Perdidas
Levante-se o réu
COCKTAIL
Cocktails de Verão
RECEITA
Receitas de Verão
CARTAS DA MAYA
Cartas da Maya
DESAFIOS
Desafios