DINHEIRO PELO NATAL
Por JOSÉ PAULO VIANA
Segunda-feira, 4 de Junho de 2001
Neste último Natal voltei a visitar o meu amigo António Dias que vive em Paris e tem três filhas, todas nascidas no verão, com intervalos de 3 anos.
No Natal o pai dá às filhas dinheiro para que cada uma delas compre as prendas que vai dar às irmãs. E segue o seguinte critério: cada filha recebe em francos o número correspondente ao produto das idades das outras duas irmâs. Por exemplo, se duas das irmãs tiverem 7 e 10 anos, a terceira recebe 70 francos.
Ao conversar com o António sobre este seu curioso costume, disse-me ele: "Este ano vou gastar mais 180 francos que no último Natal que cá estiveste."
Que idades têm as três raparigas?
Cubos e cubinhos
Na semana que passou propusemos este Desafio:
"Um cubo de madeira é mergulhado em tinta vermelha e depois é cortado em 27 cubos iguais.
A. Escolhemos um cubo ao acaso e lançamo-lo como se fosse um dado. Qual é a probabilidade de que a face que sai virada para cima ser vermelha?
B. Saiu uma face vermelha virada para cima. Qual é a probabilidade de o cubo ser um dos do canto do cubo inicial?"
Este problema aparece muitas vezes, nesta versão ou noutras parecidas, nos livros dedicados ao ensino das probabilidades ou em livros de quebra-cabeças e puzzles matemáticos. No entanto, nem sempre é resolvido da maneira que me parece mais simples. Julgo, por isso, que vale a pena analisá-lo aqui com os leitores.
A. Reparemos no seguinte. Qualquer um dos 27 cubinhos tem as mesmas possibilidades de ser escolhido. Não há cubos "privilegiados". Depois, qualquer uma das 6 faces do cubo escolhido tem as mesmas possibilidades de ser escolhida.
Há, no total, 6 x 27 = 162 faces de cubinhos. Então, como consequência do que se disse anteriormente, qualquer uma dessas faces dos cubinhos tem exactamente as mesmas possibilidades de sair. Todas elas estão em igualdade de circunstâncias. Não há faces que, à partida, sejam mais fáceis de sair que outras.
Ou seja: há 162 casos igualmente possíveis.
Vejamos agora os casos favoráveis, isto é, as faces pintadas de vermelho. Em vez de as contarmos todas, pensemos que cada uma das 6 faces do cubo grande dá origem, após os cortes, a 9 faces de cubinhos. Ora, só a superfície do cubo inicial é pintada de vermelho. Portanto, o número de faces pequenas que ficam vermelhas é 6 x 9 = 54.
Então, a probabilidade de sair uma face vermelha é o quociente do número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis:
P(sair face vermelha) = 54/162 = 1/3 0,333 ou 33,3%.
B. Saiu uma face vermelha. Ora existem como vimos 54 faces vermelhas, todas elas igualmente prováveis. Nesta situação, em que já sabemos que saiu uma face vermelha, os casos possíveis são precisamente estes 54.
Os casos favoráveis correspondem às faces vermelhas que pertencem aos cubinhos que estavam nos oito cantos do cubo inicial. Cada um destes cubimhos tem três faces pintadas de vermelho. Logo, o número de casos favoráveis é 8 x 3 = 24. Portanto, a probabilidade de a face vermelha que saiu pertencer a um cubo do canto é:
24/54 = 4/9 0,444 ou 44,4%.
DINHEIRO PELO NATAL
Por JOSÉ PAULO VIANA
Segunda-feira, 4 de Junho de 2001
Neste último Natal voltei a visitar o meu amigo António Dias que vive em Paris e tem três filhas, todas nascidas no verão, com intervalos de 3 anos.
No Natal o pai dá às filhas dinheiro para que cada uma delas compre as prendas que vai dar às irmãs. E segue o seguinte critério: cada filha recebe em francos o número correspondente ao produto das idades das outras duas irmâs. Por exemplo, se duas das irmãs tiverem 7 e 10 anos, a terceira recebe 70 francos.
Ao conversar com o António sobre este seu curioso costume, disse-me ele: "Este ano vou gastar mais 180 francos que no último Natal que cá estiveste."
Que idades têm as três raparigas?
Cubos e cubinhos
Na semana que passou propusemos este Desafio:
"Um cubo de madeira é mergulhado em tinta vermelha e depois é cortado em 27 cubos iguais.
A. Escolhemos um cubo ao acaso e lançamo-lo como se fosse um dado. Qual é a probabilidade de que a face que sai virada para cima ser vermelha?
B. Saiu uma face vermelha virada para cima. Qual é a probabilidade de o cubo ser um dos do canto do cubo inicial?"
Este problema aparece muitas vezes, nesta versão ou noutras parecidas, nos livros dedicados ao ensino das probabilidades ou em livros de quebra-cabeças e puzzles matemáticos. No entanto, nem sempre é resolvido da maneira que me parece mais simples. Julgo, por isso, que vale a pena analisá-lo aqui com os leitores.
A. Reparemos no seguinte. Qualquer um dos 27 cubinhos tem as mesmas possibilidades de ser escolhido. Não há cubos "privilegiados". Depois, qualquer uma das 6 faces do cubo escolhido tem as mesmas possibilidades de ser escolhida.
Há, no total, 6 x 27 = 162 faces de cubinhos. Então, como consequência do que se disse anteriormente, qualquer uma dessas faces dos cubinhos tem exactamente as mesmas possibilidades de sair. Todas elas estão em igualdade de circunstâncias. Não há faces que, à partida, sejam mais fáceis de sair que outras.
Ou seja: há 162 casos igualmente possíveis.
Vejamos agora os casos favoráveis, isto é, as faces pintadas de vermelho. Em vez de as contarmos todas, pensemos que cada uma das 6 faces do cubo grande dá origem, após os cortes, a 9 faces de cubinhos. Ora, só a superfície do cubo inicial é pintada de vermelho. Portanto, o número de faces pequenas que ficam vermelhas é 6 x 9 = 54.
Então, a probabilidade de sair uma face vermelha é o quociente do número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis:
P(sair face vermelha) = 54/162 = 1/3 0,333 ou 33,3%.
B. Saiu uma face vermelha. Ora existem como vimos 54 faces vermelhas, todas elas igualmente prováveis. Nesta situação, em que já sabemos que saiu uma face vermelha, os casos possíveis são precisamente estes 54.
Os casos favoráveis correspondem às faces vermelhas que pertencem aos cubinhos que estavam nos oito cantos do cubo inicial. Cada um destes cubimhos tem três faces pintadas de vermelho. Logo, o número de casos favoráveis é 8 x 3 = 24. Portanto, a probabilidade de a face vermelha que saiu pertencer a um cubo do canto é:
24/54 = 4/9 0,444 ou 44,4%.